7月中旬，朗兰兹提要中始终以来缺失的拼图——几何朗兰兹想到终于获证。齐全施展有9位数学家参与其中，历时30年之久伦理小说txt下载，合计5篇800余页论文。

朗兰兹提要是20世纪最伏击的数学“舆图”，被称为“数学界的大一统表面”。其涵盖的内容极其博大，不乏意旨的历史细节和数学念念想。比如说，不管是朗兰兹提要，如故用于施展几何朗兰兹想到的中枢用具，灵感完全萌发自消除时间的两处监狱之中；同期，朗兰兹提要的提倡还和数学史上最著明的两封信顺利关连。目前，这一为不同规模架起“桥梁”的迷东说念独揽论，离完结又近了一大步。

撰文 | 嘉伟

罗伯特·朗兰兹 | 图源：Robert Langlands - Wikipedia

1996年，菲尔兹奖得主恩里科·邦别里（Enrico Bombieri）在朗兰兹会议——贺罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）60岁寿诞上发言：“数学家们一经沿着朗兰兹的念念路责任了25年，越来越多的凭据证明事情正按他所说的那样发展，他成为了数学前进的推能源。”

“他所说的那样”即是指20世纪最伏击的数学“舆图”——朗兰兹提要（Langlands program）。加州大学伯克利分校的数学造就、著明数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）顺利称其为“浩大的数学大一统表面”。就如同表面物理中“大一统表面之梦”意欲把已知的四种基本力妥洽到一个框架里一样，朗兰兹提要提倡了一个深刻而坚强的表面框架，应用代数方程精准解的高阶实行，触及数学最基本的规模，并将解析函数镶嵌几何时局中。它使得许多相距甚远的数学规模能够妥洽到一个坚强的解析步伐时局中。

从一运转，投身其中的数学家就明白，对朗兰兹提要的施展不可能一蹴而就，只可一步一个脚印，少许少许地去摧折，关于整个提要的施展也许需要好几代东说念主的悉力，但只须不到黄河心不死，他们深信，但愿就在目下。到今天，悉力的答复果决相当丰厚。2024年7月中旬，提要中始终以来缺失的拼图——几何朗兰兹想到——终于获证。齐全施展有9位数学家参与其中，历时30年之久，包括5篇大论文，合计800余页。

这是震憾数学界的要紧新闻，大致是2024年度最为伏击的数学摧折。想必许多读者早已看过关连报说念。有几家媒体也翻译了Quanta Magazine上报说念此事的精彩著述“Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture”。可是，因为朗兰兹提要涵盖的内容极其博大，不错从许多不同的角度来阐发和意会，是以现存著述险些齐错过了不少意旨的历史细节和数学念念想。比如说，不管是朗兰兹提要，如故用于施展几何朗兰兹想到的中枢用具，灵感完全萌发自消除时间的两处监狱之中；同期，朗兰兹提要的提倡还和数学史上最著明的两封信顺利关连。

兄妹的狱中通讯

其一就是法国最著明的一双知识分子兄妹的狱中通讯。

曾有东说念主向玄学家西蒙娜·韦伊发问：唯有傻瓜才会坠入爱河，对不合？

西蒙娜回答说念：莫得任何存在之物是透顶值得咱们去爱的。因此，咱们必须去爱那些不存在之物。

安德烈·韦伊是大卫·希尔伯特之后，整个数学界的领航者之一。| 图源：André Weil - Wikipedia

1940年，安德烈·韦伊（André Weil）在法国鲁昂的一所监狱里写下了20世纪数学界最伏击的信件之一。他因阻隔入伍而获刑，在狱中他与住在伦敦的妹妹通讯，以掌持互相的现状。

安德烈·韦伊出身于巴黎，西蒙娜·韦伊是他的妹妹，亦然他唯独的伯仲姐妹。其后，哥哥成为20世纪最伟大的数学家之一，妹妹则成为著明且在现代愈发有影响力的玄学家和政事活动家。

在之前的一封信中，西蒙娜曾条目哥哥向她先容一下他最近的询查内容。炮火连天下，安德烈提神翼翼地写下了答信，他“劝诫”妹妹：“你将对接下来的事情一无所知”。在接下来的14页中，他勾画了数学“罗塞塔石碑”的念念想。著明的罗塞塔石碑用三种说话记载了消除内容，这使得历史学家和说话学家通过其上的古希腊笔墨，破译了一经断了传承的古埃及笔墨。韦伊的“罗塞塔石碑”则将数学的三大规模接洽起来：数论、几何学，以及中间的有限域。

其他数学家也提倡过类似的主见，但韦伊是第一个阐发简直愿景的东说念主。他的信启发了其后的朗兰兹提要。

13岁的西蒙娜。这张像片是在全家去比利时度假技能拍摄的，她在那儿和哥哥相当沸腾。|图源：Simone Weil - Wikipedia

在写给妹妹的信中，韦伊宣称“与数域的类比是如斯严格和昭着，以至于在算术中，莫得一个论点和收尾不可险些一字一句地翻译到函数[或有限]域上”。不外，多项式不错在有限域上默示和剖析是一趟事，但将复分析的全部机制导入有限域则是另一趟事。关联词他自信地断言，“互异还不大，以至于耐性的询查不错教授咱们从一个规模调整到另一规模的艺术。

那是在1940年。在接下来的十年里，韦伊设备了精准的步伐，破译了他的数学“罗塞塔石碑”的大片区域。他还对数论和几何之间的关系提倡了一系列想到。其中最斗胆的是黎曼想到的有限域版块。韦伊本东说念主施展了一维的情况。

第二封信

若是用武侠演义来类比数学界，那么即便在顶尖妙手里，韦伊的武功之高强也属耸东说念主听闻。不管是何等抽象、复杂的“武器”（表面），他齐能信手拈来，绝不劳苦。亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）被誉为是代数几何学的教皇，而他其时设备的代数几何学的表面用具，主要就是为了给韦伊提供武器去攻克黎曼想到！格罗滕迪克其时发掘了名为“层”（Sheaves）的数学结构的后劲，而应用颠倒的层结构则是本年施展几何朗兰兹想到的要津。

此外，东说念主类似乎终点心爱排行，即即是数学家也不可免俗。这里再共享一则韦伊的趣事：

在1950年代，芝加哥大学数学系举办了一场圣诞派对。许多著明的数学家出席了，包括安德烈·韦伊。为了文娱，世东说念主试图列出十位最伟大的谢世数学家，但不可包括在场的东说念主。关联词，韦伊相持条目把我方列入候选畛域。

其后，韦伊搬到了普林斯顿的高级询查院（IAS）。在1970年代中期，一位普林斯顿大学的询查生问他谁是二十世纪最伟大的数学家，他绝不游移地回答：“卡尔·路德维希·西格尔（Carl Ludwig Siegel）。”当被问到谁是本世纪第二伟大的数学家时，他只是浅笑着，在他的翻领上擦了擦指甲。（出自Michael Harris’s “Mathematics without apologies”）

这位二十世纪最伟大的数学家（之一）到达普林斯顿不久，就收到了一封17页的手写信件，寄信东说念主恰是30岁的普林斯顿大学造就罗伯特·朗兰兹。

1967年1月，朗兰兹在普林斯顿大学时，给安德烈·韦伊写了一封17页的手写信，玄虚了其后被称为“朗兰兹提要”的内容。即使在今天，这封信也值得仔细阅读，尽管按照目前的尺度，它的记号有些稚子。| 图源：普林斯顿高级询查院档案，Letter to André Weil | publications.ias.edu

信中以为，按照韦伊的“数学罗塞塔”的念念想，数论和有限域上的多项式，不错通过一种实行的傅里叶分析，建立起相当坚强和畛域惊东说念主的接洽！

在经典的傅里叶分析中，名为傅里叶变换的历程在两种不同的领会神志之间建立起了对应关系。对应关系的一侧是波，复杂的波不外是正弦波的组合。对应关系的另一端是正弦波的频率频谱——在声学快意里即它们的音高。

傅里叶变换允许双方走动调整。在一个方进取，它允许咱们将波剖析为一组频率；另一方面，它匡助咱们由频率重建波。莫得傅里叶变换，咱们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像等许多现代生涯必需品。

方波的傅里叶级数，波与频谱之间的对应关系。| 图源：Seugwon Park，illustr

朗兰兹提倡，在数论和函数域里，也能构造类似的傅里叶变换，但此时的“波”和“频率”愈加抽象和复杂。

构建对应

在数论里实行傅里叶变换，波与频率分属截然相背的规模，而建立起它们的对应关系，通常会带来丰厚的答复。在1990年代，当领悟到椭圆弧线和模时局之间存在对应关系之后，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）施展了费马大定理。而朗兰兹提要所描摹的景致愈加无际宽广，咱们难以设想当它完成之时，到底能获利若干答复。

从另一个角度来说，尽管数论版的朗兰兹提要深不可测，但仍旧根源于古典数论的基本问题，即三千年前的数学前驱就已运改革念考的、代数方程的稀疏会和整数解。更简直点说，它不错看作是二次互反律的实行。素数终点于傅里叶变换里的频谱。

可是，要怎样把几何纳入到这一框架里呢？关于紧致的黎曼曲面，最中枢的几何/拓扑特征是它上头的洞。

在数学科普里，有一反复使用的知识性示例：咖啡杯和甜甜圈在拓扑学里其实是通常（同胚）的东西。因为它们齐唯有一个洞。若是你无法设想的话，底下就有咖啡杯平滑变形为甜甜圈的历程。

这组陶瓷模子由卡内基梅隆大学的Keenan Crane和俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman亲手烧制而成。| 图源：Keenan Crane & Henry Segerman

是以任何用于形容黎曼曲面的频谱，齐需要包含这些本体结构的信息。合理商酌，信息应该以名为基本群的代数拓扑学倡导的时局被提取出来。

可是，在很长一段时分里，数学家齐无法设想怎样构造基本群的特征函数（终点于经典傅里叶变换里的正弦函数）。就连朗兰兹开头描摹他的提要时，几何部分齐未包含在内。

直到20世纪80年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）才领悟到，通过将特征函数替换为特征层（eigensheaf），有可能构建一个几何版块的朗兰兹对应关系。而几何朗兰兹想到的精准表述直到本世纪才出现——2012年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）联结，通过一篇长达150多页的论文给出了这一表述。

在经典信号处理规模，声波不错由正弦波组成，其频率对应于声息的音高。只是知说念声息包含哪些音高是不够的，还需要了解每个音高的响度。这些信息允许工程师将声息默示为正弦波的组合：从振幅为1的正弦波运转，再乘以得当的响度因子，然后将这些正弦波相加。统统这些振幅为1的不同正弦波之和就是所谓的“白噪声”。

在几何朗兰兹想到中，特征层的作用类似于正弦波，但顺利用它充任黎曼曲面的特征函数，则相当之难。幸好几位联结者又识别出一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，已知其可调整为特征函数。若是它能充任几何学里的“白噪声”，则大事收场。关联词，这些询查者不细目是否不错将每个特征层齐默示为庞加莱层——就像把弦波剖析成白噪声之和，更不细目后者是否具有通常的“振幅”。这就是终末需要施展的东西。

樊笼里的光

特征层和庞加莱层，齐是之前说起的层倡导的特例。况且，层的提倡恐怕和韦伊在狱中构念念“数学罗塞塔”是消除时分。

安德烈·韦伊在他的自传中提到，他在监狱中的资历对他的数学询查产生了深切的影响……

监狱中的镇定环境使他的念念维变得终点了了。在狱中莫得外界的拦截，能够专注于数学问题的念念考和处分。这种环境促使他在数学询查上取得了要紧摧折。他其后半开打趣地说，监狱是数学家最佳的询查环境。

1940年，法国应用数学家和炮兵军官让·勒雷（Jean Leray）的资历，似乎佐证了韦伊对监狱的意会。

他被德国东说念主俘虏后告诉审讯者，我方是别称拓扑学家，因为系念若是德国东说念主发现了他实在的专科规模——流体能源学，会将就他为德国的搏斗机器劳动。在他被幽囚的近5年时分里，勒雷通过进行拓扑学询查来沉稳我方的东说念主设。拓扑学是询查可变形骸式的数学分支。他最终创造了现代数学中最具创新性的主见之一：层（sheaves）的倡导。

塞尔（Jean-Pierre.Serre）著明的论文Faisceaux Algébriques Cohérents展示了怎样使用层来给代数簇提供一个通用界说（通过使用层将称为仿射簇的简单几何对象拼接在通盘），以及怎样将代数几何中的经典念念想再行解释为层的上同调。塞尔的责任激勉了格罗滕迪克的层表面步伐，使之成为代数几何更基础的决议。

从格罗滕迪克运转，数学家渐渐领悟到，层的围聚与函数的围聚有许多共同点，但复杂进程更高。咱们不错对层进行相加和相乘运算，致使不错对它们进行颠倒的微积分运算。

在监狱里，勒雷翻开了通往数学新天下的大门。

趁机说一句，勒雷在战俘营里还发明了谱序列，这是一种相当复杂但坚强到险些难以置信的用具。谱序列在许多半学规模中齐至关伏击，包括代数几何、代数拓扑和同调代数。关于一个为了幸免被德国东说念主愚弄其能力而宣称我方是纯数学家的东说念主来说，这效力并不算太差。

简单点说，层是用于获取“局部”信息并检察是否不错将这些局部信息粘合在通盘以获取“全局”信息的用具。进犯咱们粘合信息的“力量”会换取咱们干与所谓的层的上同调，这是代数几何和复分析的中枢内容。

笔者从印度数学家Y.V. Srinivas那儿学来了用子图着色来意会“层”的直不雅神志。读者不错汇注底下的例子，来意会什么是“获取局部信息并检察是否不错将这些局部信息粘合在通盘以获取全局信息”。

谈判一个图的统统着色。假定咱们用一组子图（可能肖似）阴私这个图。整个图的着色不错限度为每个子图的着色。反过来，假定咱们用着色决议C(S)为每个子图S着色。若是两个子图肖似，咱们条目它们在肖似部分的着色一致。也就是说，假定一个偏激V同期出目前子图S和子图T中，那么决议C(S)和C(T)必须为V点收受通常的热诚。在这种情况下，咱们不错将统统子图的着色粘合在通盘，得到整个图的着色。这就是把局部信息粘合成在通盘的历程。

重建巴别塔

我躺在床上念念考了三个月。

——丹尼斯·盖茨戈里

Dennis Gaitsgory（左）和 Sam Raskin（右）率领的九东说念主团队施展了几何朗兰兹想到。| 图源：Natasha Bershadsky; Charlotte Krontiris

2020年寰球疫情暴发，大致隔断技能的景色和入狱有几分类似。丹尼斯·盖茨戈里躺在床上念念考了三个月。他琢磨出来的表面，为终末的施展埋下了但愿的种子。

客岁，几何朗兰兹名堂标另一位率领者山姆·拉斯金（Sam Raskin）在资历了太太独揽预产期的战栗失箸之后，终于与几位询查者聚在通盘，聚积了几东说念主的理智，攻克了终末一说念难关。

几何朗兰兹想到终末一篇论文的7位合著者。上头四东说念主中左二为陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理造就。| 图源：Giancarlo Rado; Yau Mathematical Science Center; Wyatt Reeves; Diana Tyszko; Lisa Smith; Jean Lachat; Alex Arinkin

如同前文所述，朗兰兹提要最迷东说念主之处就是为不同规模建立起桥梁。如今几位联结者正在尝试将他们的几何收尾再翻译到函数域上，神话一经取得了弘扬。若是顺利，将施展函数域版块的朗兰兹想到比数学家之前知说念致使商酌的还要精密得多。

目前，数学界需要时分冉冉消化几何朗兰兹想到的施展。同期，数学天下的开拓者们正一步一个脚印，冷静但执意地把朗兰兹的玄学飘荡为一个个数学定理。

参考贵寓

[1] Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture | Quanta Magazine

[2]“God does not algebra”: Simone Weil’s search for a supernatural reformulation of mathematics. DOI:10.25180/lj.v25i2.340

[3]A Rosetta Stone for Mathematics | Quanta Magazine

[4]数学家和玄学家：兄妹的故事 – The Irish Times

[5]《代数数论简史》，冯克勤，湖南耕作出书社

[6]A Very Elementary Introduction to Sheaves (arxiv.org)

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